高职高专 十二五 规划教材高等数学 邢博特主编于长青张玉玲禇衍彪钟召平副主编 经济科学出版社 图书在版编目(CIP)数据高等数学/邢博特主编. 北京：经济科学出版社，2010.5高职高专 十二五 规划教材ISBN978-7-5058-9354-2Ⅰ.①高 Ⅱ.①邢 Ⅲ.①高等学校 高等学校：技术学校 教材Ⅳ.①013中国版本图书馆CIP数据核字(2010)第081179号 责任编辑：王东萍责任校对：王凡娥技术编辑：李长建 高等数学邢博特主编于长青张玉玲禇衍彪钟召平副主编经济科学出版社出版、发行新华书店经销社址:北京市海淀区阜成路甲28号邮编:100142教材编辑中心电话:88191344发行部电话:88191540网址:www.esp.com.cn电子邮件:espbj3@esp.com.cn北京富博印刷有限公司印装787 109216开18.5印张350千字2010年5月第1版2010年5月第1次印刷ISBN978-7-5058-9354-2定价：32.00元（图书出现印装问题，本社负责调换）（版权所有翻印必究） 1章集合、映射与函数高等数学第1章集合、映射与函数科学发展一直是数学不断发展的推动力.到了16世纪，人们开始对物体的运动规律产生了浓厚的兴趣，这也逐渐将数学推进到一个新的时代，即对变量研究的时代，而研究的方法就是函数.通过使用函数，可以反映出变量之间的依赖关系，而对函数性质的研究，则可以更好地揭示变量的变化规律.在微积分学中，所研究的就是这些函数局部或整体的性质.本章将介绍函数的一些基本概念及基本性质，为以后的学习打下初步基础.1.1集合与映射1.1.1集合及其运算集合是数学中的基本概念，具有某种特定性质的事物的总体就可以构成一个集合.例如，一个班的全体学生构成一个集合，商店里所有的商品构成一个集合，全体有理数也构成一个集合 组成某个集合的事物称为元素.通常情况下，使用大写英文字母表示集合（如A,B,C, ），而用小写英文字母表示集合的元素（如a,b,c, ）.如果a是集合A的元素，则称a属于A，记作a A；如果a不是集合A的元素，则称a不属于A，记作aA或aA.若一个集合包含有限个元素，则称这个集合为有限集，否则称为无限集.还有一类特殊的集合，它不包含任何元素，我们称之为空集，记作.注：集合需要有明确的判断标准，否则就不能称为集合.例如，{某班中所有高个子的同学}就不是集合，因为高个子是相对的概念，在没有参照的情况下，我们无法判断某个人的个子是高还是矮.如果修改为{某班中所有身高超过1.8m的同学}，就是一个集合了.集合的表示方法通常有两种，一种是列举法，即将集合中的所有元素都列举出来.例如，集合A由元素a1,a2, ,an组成，则可以将其表示成A={a1,a2, ,an}.另一种是描述法，即通过对集合中元素特性的描述来表示集合的方法.例如，所有正实数的集合可以表示为B={x|x 0，x R}.下面我们给出数学中常用的几个集合.全体非负整数（即自然数）组成的集合通常用字母N来表示，即 ={0,1,2,3, ,n, }全体整数组成的集合通常用字母Z来表示，即Z={ ,-n, ,-2,-1,0,1,2, ,n, }全体有理数组成的集合通常用字母Q来表示，即Q=pqp Z,q N+，且p与q互质由全体实数组成的集合通常用字母R来表示，由全体复数组成的集合通常用字母C来表示.在本书中，如无特殊说明，所说的数都是实数.在数学中还给出了集合之间的关系，如包含、相等等关系以及集合之间的并、交、差等基本运算，下面我们将给出其数学表达.假设集合A和B，如果A中的元素都属于B，即对于任意的a A，都有a B成立，则称集合A是B的子集，记作AB（读作A包含于B）或BA（读作B包含A）.例如，NZQRC.如果集合A和B相互包含，即AB和BA均成立，则称集合A和集合B相等，记作A=B.例如，{x|x 1,x R}={x|x-1 0,x R}.如果集合AB且A B，则称A是B的真子集，记作AB.例如，{x|x 1,x Z}{x|x 1,x R}{x|x 0,x R}.可以认为，空集是任何非空集合A的子集，即A.设A和B是任意的两个集合，由A，B中所有元素组成的集合称为A与B的并集，简称并，记作A B，即A B={x|x A或x B}由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集，简称交，记作A B，即A B={x|x A且x B}由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，简称差，记作A-B（在有些书中，A与B的差集也记作A、B），即A-B={x|x A且xB}集合运算的示意图如图1-1所示.